同构

简介

  在抽象代数(abstract algebra)中,同构(isomorphism)指的是一个保持结构的双射(bijection)。在更一般的范畴论语言中,同构指的是一个态射,且存在另一个态射,使得两者的复合是一个恒等态射。

正式的表述

  同构是在数学对象之间定义的一类映射,它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射,那么这两个结构叫做是同构的。一般来说,如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义,单从结构上讲,同构的对象是完全等价的。   
  假设M,M′是两个乘集,也就是说M和M′是两个各具有一个闭合的结合法(一般写成乘法)的代数系,σ是M射到M′的双射,并且任意两个元的乘积的像是这两个元的像的乘积,即对于M中任意两个元a,b,满足σ(a·b)=σ(a)·σ(b);也就是说,当a→σ(a),b→σ(b)时,a·b→σ(a·b),那么这映射σ就叫做M到M′上的同构。又称M与M′同构,记作M~M′。

引入同构的目的

  
  
同构图
同构图
在数学中研究同构的主要目的是为了把数学理论应用于不同的领域。如果两个结构是同构的,那么其上的对象会有相似的属性和操作,对某个结构成立的命题在另一个结构上也就成立。因此,如果在某个数学领域发现了一个对象结构同构于某个结构,且对于该结构已经证明了很多定理,那么这些定理马上就可以应用到该领域。如果某些数学方法可以用于该结构,那么这些方法也可以用于新领域的结构。这就使得理解和处理该对象结构变得容易,并往往可以让数学家对该领域有更深刻的理解。